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初中數學奧林匹克競賽教程內容節選

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但這是不可能的，因為k2x2與n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方數．

A1－003 試證四個連續自然數的乘積加上1的算術平方根仍為自然數．

【題說】 1962年上海市賽高三決賽題 1．

【證】四個連續自然數的乘積可以表示成

n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1

因此，四個連續自然數乘積加上1，是一完全平方數，故知本題結論成立．

A1－004 已知各項均為正整數的算術級數，其中一項是完全平方數，證明：此級數一定含有無窮多個完全平方數．

【題說】 1963年全俄數學奧林匹克十年級題2．算術級數有無窮多項．

【證】設此算術級數公差是 d，且其中一項 a＝m2（m∈N）．于是

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【題說】1993年亞太地區數學奧林匹克題4．

【解】顯然，n只能為奇數．

當n=1時，x=－4．

當n為不小于3的奇數時，方程左邊是首項系數為1的非負整系數多項式，常數項是2n+1，所以它的整數解只能具有－2t的形式，其中t為非負整數．若t=0，則x=－1，它不是方程的解；若t=1，則x=－2，也不是方程的解；當t≥2時，方程左邊=2n[－2n（t-1）＋（1－2t-1）n＋（1＋2t-1）n]，而－2n（t-1）＋（1－2t-1）n＋（1＋2t-1）n≡2（mod 4），從而方程左邊不等于零．

綜上所述，當且僅當n=1時，原方程有一個整數解x=－4．

A5－033 每一個大于2的自然數n都可以表示為若干個兩兩不等的正整數之和．記這些相加數個數的最大值為A（n），求A（n）．

【題說】1993年德國數學奧林匹克（第一輪）題1．

【解】對任意自然數n（n≥3），存在自然數m

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